Костянтин Вівчаренко родом з Одеси, розпочав свій футбольний шлях у ДЮСШ-11 «Чорноморець». Після сезону в цій команді був запрошений до академії київського «Динамо».

Після закінчення академії Костянтин був внесений до заявки «Динамо» на сезон 2018/19. У 16-річному віці вже почав працювати з динамівськими колективами U19 та U21. Провів у згаданому сезоні 11 матчів за юнацький склад (8 - у чемпіонаті України та 3 - у Юнацькій Лізі УЄФА) і 9 зустрічей - за молодіжний. У якості гравця обох команд завоював чемпіонство України.

Наступного сезону Вівчаренко став гравцем основи команди під керівництвом Ігоря Костюка, зігравши 13 поєдинків у юнацькій першості та відзначившись першим голом (16 серпня 2019 року в матчі з «Десною»). Також узяв участь у всіх 5-ти матчах киян у Юнацькій Лізі УЄФА і 7 разів виходив у складі «Динамо» U21.

На початку 2020 року був залучений Олексієм Михайличенком до обойми першої команди «Динамо» на зимових зборах у Туреччині, де брав участь у контрольних матчах. Уперше до заявки основного складу киян Вівчаренко був включений на матч за Суперкубок України-2020, у якому динамівці здолали «Шахтар» (3:1). 

Продовжує розраховувати на молодого захисника і Мірча Луческу - до сезону 2020/21 Вівчаренко знову готувався в обоймі першої команди, паралельно виступаючи за молодіжний склад. Був заявлений на груповий етап Ліги чемпіонів за списком «Б». 

Рідною позицією Вівчаренка є лівий фланг оборони, однак у динамівській академії він грав також у центрі захисту та опорній зоні.